Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

            Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

      La inversa de una derivada se llama primitiva, anti-derivada o integral indefinida.

Recta tangente a una función en un punto

   La recta tangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de tangencia que consideremos.

     Si conocemos la ecuación de la recta tangente T_a(x) a la función f(x) en el punto a podemos tomar T_a(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del punto a. Esto quiere decir que si tomamos un punto a + h y lo evaluamos tanto en la función como en la recta tangente, la diferencia   f(a+b)-T(a+b) será despreciable frente a h en valor absoluto si h tiende a cero. Cuanto más cerca estemos del punto a tanto más precisa será nuestra aproximación de f(x).

Para una función f(x) derivable localmente en el punto a, la recta tangente a f(x) por el punto a es:

T_a(x)= f(a) + f '(a)(x-a)

Enlaces alternativos.

Universidad Europea. Escuela Politécnica.

UEM


Aula UE

Canal de Youtube

Primer Post.

Bienvenidos al blog para Ingenieros del 1º Curso y para el aprendizaje de calculo, álgebra y habilidades de comunicación.

 

 

SpeedHunters