A inicios del siglo XX la ruptura de los conceptos clásicos con los experimentos realizados era evidente. Los primeros modelos fueron propuestos por Albert Einstein, Niels Bohr, Arnold Sommerfeld y muchos otros; quienes fundaron las bases de lo que ahora se conoce como mecánica cuántica. En la década de los veinte, un grupo de relativamente jóvenes físicos tomaron el liderazgo en la elaboración de una teoría acorde con los nuevos postulados encontrados; teoría que, contraria a la formulación clásica, debía ser basada en los experimentos y no en la intuición. Además de requerir un lenguaje matemático más preciso.
En este sentido, Werner Heisenberg fue el primero completar una formulación matemática más elaborada de la mecánica cuańtica. Esta formulación se basa en que los aspectos teóricos de los sistemas están fundados exclusivamente en las relaciones entre cantidades pertenecientes al sistema que, en principio, es observable. En mecánica cuántica, los observables son las cantidades que directa o indirectamente pueden ser experimentalmente medidas. Esta premisa lo condujo a una formulación exitosa de la mecánica cuántica basado en la teoría de matrices.
Heisenberg trabajo con datos experimentales relacionados a la transición atómica de las interacciones de los átomos con cuantos de luz, fotones, tratando de identificar los observables relevantes. De esta manera él argumentó que las cantidades relacionadas a las transiciones eran los objetos básicos relevantes. En 1925 Heisenberg propuso la primera estructura matemática coherente acerca de la teoría atómica para los átomos.
En la elaboración de esta Mecánica Matricial fue importante el trabajo de Max Born y Pascual Jordan, quienes reconocieron que esas cantidades obedecían las reglas preestablecidas por el álgebra matricial.
Razonamiento de Heisenberg
Previo a la Mecánica Matricial, la teoría cuántica anterior describía el movimiento de una partícula por medio de una orbita clásica con posición 
y momento 
bien definido, con la restricción que la integral temporal sobre un período T de momento por velocidad debía ser un múltiplo entero positivo de la constante de Planck:
y momento bien definido, con la restricción que la integral temporal sobre un período T de momento por velocidad debía ser un múltiplo entero positivo de la constante de Planck:
La teoría cuántica anterior no describe procesos dependientes del tiempo, como la absorción o emisión de radiación, sin embargo esta restricción empleada correctamente toma orbitas con energía.
Cuando a una partícula clásica se la acopla débilmente a un campo de radiación, es decir cuando el amortiguamiento de la radiación puede ser despreciado, este emitiráradiación en un patrón que se repite cada periodo orbital. Las frecuencias que componen la onda saliente son entonces son múltiplos enteros de la frecuencia orbital. Este es un síntoma que manifiesta que es periódico, lo que nos indica que las representaciones de Fourier únicamente tienen los valores de frecuencia 
:
:
donde los coeficientes 
son complejos. Los que tienen frecuencias negativas deben ser los complejos conjugados de los que tienen frecuencias positivas, de esta manera es siempre real:
son complejos. Los que tienen frecuencias negativas deben ser los complejos conjugados de los que tienen frecuencias positivas, de esta manera es siempre real:
. La energía del fotón es 
, que significa que su frecuencia es 
. Para n y m , pero con n - m relativamente pequeños, éstas son las frecuencias clásicas del principio de correspondencia planteado por Bohr:
donde 
es el período clásico de una de las orbitas n o m cuando la diferencia entre ellas es de un orden mayor a 
. Sin embargo para n o m pequeños o si n - m es muy grande, las frecuencias no son múltiplos enteros de ninguna de las frecuencias.
es el período clásico de una de las orbitas n o m cuando la diferencia entre ellas es de un orden mayor a . Sin embargo para n o m pequeños o si n - m es muy grande, las frecuencias no son múltiplos enteros de ninguna de las frecuencias.
Cuando las frecuencias de emisión de la partícula son las mismas frecuencias de la descripción de Fourier de su movimiento, esto sugiere que algo está oscilando en la descripción dependiente del tiempo de la partícula con frecuencia . Heisenberg denominó a esta cantidad 
y exigió que sea reducido a los coeficientes clásicos de Fourier en el límite clásico. Para valores muy grandes de n y m, pero con valores relativamente pequeños de n - m, es el coeficiente de Fourier (n - m)-ésimo del movimiento clásico en la órbita n. Cuando tiene frecuencias opuestas a , la condición que 
sea real se convierte en:
. Heisenberg denominó a esta cantidad y exigió que sea reducido a los coeficientes clásicos de Fourier en el límite clásico. Para valores muy grandes de n y m, pero con valores relativamente pequeños de n - m, es el coeficiente de Fourier (n - m)-ésimo del movimiento clásico en la órbita n. Cuando tiene frecuencias opuestas a , la condición que sea real se convierte en:
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- * Max Born notó que esta es la ley de multiplicación para matrices, por lo que la posición, el momento, la energía y todos los observables son interpretados como matrices. Debido a la regla de multiplicación el producto depende del orden, es decir
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y son matrices, satisfacen las ecuaciones clásicas del movimiento.
